详解R语言中的多项式回归、局部回归、核平滑和平滑样条回归模型

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时间：2021-08-11

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多项式回归

扩展可能是假设某些多项式函数，

同样，在标准线性模型方法（使用GLM的条件正态分布）中，参数可以使用最小二乘法获得，其中在。

即使此多项式模型不是真正的多项式模型，也可能仍然是一个很好的近似值。实际上，根据 Stone-Weierstrass定理，如果在某个区间上是连续的，则有一个统一的近似值，通过多项式函数。

仅作说明，请考虑以下数据集

db = data.frame(x=xr,y=yr)
plot(db)

与标准回归线

reg = lm(y ~ x,data=db)
abline(reg,col="red")

考虑一些多项式回归。如果多项式函数的次数足够大，则可以获得任何一种模型，

reg=lm(y~poly(x,5),data=db)

但是，如果次数太大，那么会获得太多的“波动”，

reg=lm(y~poly(x,25),data=db)

并且估计值可能不可靠：如果我们更改一个点，则可能会发生（局部）更改

yrm=yr;yrm[31]=yr[31]-2 
lines(xr,predict(regm),col="red")

局部回归

实际上，如果我们的兴趣是局部有一个很好的近似值，为什么不使用局部回归？

使用加权回归可以很容易地做到这一点，在最小二乘公式中，我们考虑

在这里，我考虑了线性模型，但是可以考虑任何多项式模型。在这种情况下，优化问题是

可以解决，因为

例如，如果我们想在某个时候进行预测，考虑。使用此模型，我们可以删除太远的观测值，

更一般的想法是考虑一些核函数给出权重函数，以及给出邻域长度的一些带宽（通常表示为h），

这实际上就是所谓的 Nadaraya-Watson 函数估计器。
在前面的案例中，我们考虑了统一核，

但是使用这种权重函数具有很强的不连续性不是最好的选择，尝试高斯核，

这可以使用

w=dnorm((xr-x0))
reg=lm(y~1,data=db,weights=w)

在我们的数据集上，我们可以绘制

w=dnorm((xr-x0))
plot(db,cex=abs(w)*4)
lines(ul,vl0,col="red")
axis(3)
axis(2)
reg=lm(y~1,data=db,weights=w)
u=seq(0,10,by=.02)
v=predict(reg,newdata=data.frame(x=u))
lines(u,v,col="red",lwd=2)

在这里，我们需要在点2进行局部回归。下面的水平线是回归（点的大小与宽度成比例）。红色曲线是局部回归的演变

让我们使用动画来可视化曲线。

但是由于某些原因，我无法在Linux上轻松安装该软件包。我们可以使用循环来生成一些图形

name=paste("local-reg-",100+i,".png",sep="")
png(name,600,400)
for(i in 1:length(vx0)) graph (i)

然后，我使用

当然，可以考虑局部线性模型，

return(predict(reg,newdata=data.frame(x=x0)))}

甚至是二次（局部）回归，

lm(y~poly(x,degree=2), weights=w)

当然，我们可以更改带宽

请注意，实际上，我们必须选择权重函数（所谓的核）。但是，有（简单）方法来选择“最佳”带宽h。交叉验证的想法是考虑

是使用局部回归获得的预测。

我们可以尝试一些真实的数据。

library(XML)
 
data = readHTMLTable(html)

整理数据集，

plot(data$no,data$mu,ylim=c(6,10))
segments(data$no,data$mu-1.96*data$se,

我们计算标准误差，反映不确定性。

for(s in 1:8){reg=lm(mu~no,data=db, 
lines((s predict(reg)[1:12]

所有季节都应该被认为是完全独立的，这不是一个很好的假设。

smooth(db$no,db$mu,kernel = "normal",band=5)

我们可以尝试查看带宽较大的曲线。

db$mu[95]=7
 
plot(data$no,data$mu
 
lines(NW,col="red")

样条平滑

接下来，讨论回归中的平滑方法。假设，是一些未知函数，但假定足够平滑。例如，假设是连续的，存在，并且是连续的，存在并且也是连续的等等。如果足够平滑，可以使用泰勒展开式。因此，对于

也可以写成

第一部分只是一个多项式。

使用黎曼积分，观察到

因此，

我们有线性回归模型。一个自然的想法是考虑回归 $详解R语言中的多项式回归、局部回归、核平滑和平滑样条回归模型$ ，对于

给一些节点 $详解R语言中的多项式回归、局部回归、核平滑和平滑样条回归模型$ 。

plot(db)

如果我们考虑一个节点，并扩展阶数1，

B=bs(xr,knots=c(3),Boundary.knots=c(0,10),degre=1)
 
lines(xr[xr<=3],predict(reg)[xr<=3],col="red")
lines(xr[xr>=3],predict(reg)[xr>=3],col="blue")

可以将用该样条获得的预测与子集（虚线）上的回归进行比较。

lines(xr[xr<=3],predict(reg)[xr<=3
 
lm(yr~xr,subset=xr>=3)