MCMC是从复杂概率模型中采样的通用技术。
- 蒙特卡洛 马尔可夫链 Metropolis-Hastings算法
问题
如果需要计算有复杂后验pdf p（θ| y）的随机变量θ的函数f（θ）的平均值或期望值。
您可能需要计算后验概率分布p（θ）的最大值。
解决期望值的一种方法是从p（θ）绘制N个随机样本，当N足够大时，我们可以通过以下公式逼近期望值或最大值
将相同的策略应用于通过从p（θ| y）采样并取样本集中的最大值来找到argmaxp（θ| y）。
解决方法
1.1直接模拟
1.2逆CDF
1.3拒绝/接受抽样
如果我们不知道精确/标准化的pdf或非常复杂，则MCMC会派上用场。
马尔可夫链
为了模拟马尔可夫链，我们必须制定一个 过渡核T（xi，xj）。过渡核是从状态xi迁移到状态xj的概率。
马尔可夫链的收敛性意味着它具有平稳分布π。马尔可夫链的统计分布是平稳的,那么它意味着分布不会随着时间的推移而改变。
Metropolis算法
对于一个Markov链是平稳的。基本上表示
处于状态x并转换为状态x'的概率必须等于处于状态x'并转换为状态x的概率
或者
方法是将转换分为两个子步骤；候选和接受拒绝。
令q（x'| x）表示 候选密度，我们可以使用概率 α（x'| x）来调整q 。
候选分布 Q（X'| X）是给定的候选X的状态X'的条件概率，
和 接受分布 α（x'| x）的条件概率接受候选的状态X'-X'。我们设计了接受概率函数，以满足详细的平衡。
该 转移概率 可以写成：
插入上一个方程式，我们有
Metropolis-Hastings算法
A的选择遵循以下逻辑。
在q下从x到x'的转移太频繁了。因此，我们应该选择α（x | x'）=1。但是，为了满足 细致平稳，我们有
下一步是选择满足上述条件的接受。Metropolis-Hastings是一种常见的 选择：
即，当接受度大于1时，我们总是接受，而当接受度小于1时，我们将相应地拒绝。因此，Metropolis-Hastings算法包含以下内容：
初始化：随机选择一个初始状态x；
根据q（x'| x）随机选择一个新状态x';
3.接受根据α（x'| x）的状态。如果不接受，则不会进行转移，因此无需更新任何内容。否则，转移为x'；
4.转移到2，直到生成T状态；
5.保存状态x，执行2。
原则上，我们从分布P（x）提取保存的状态，因为步骤4保证它们是不相关的。必须根据候选分布等不同因素来选择T的值。 重要的是，尚不清楚应该使用哪种分布q（x'| x）；必须针对当前的特定问题进行调整。
属性
Metropolis-Hastings算法的一个有趣特性是它 仅取决于比率
是候选样本x'与先前样本xt之间的概率，
是两个方向（从xt到x'，反之亦然）的候选密度之比。如果候选密度对称，则等于1。
马尔可夫链从任意初始值x0开始，并且算法运行多次迭代，直到“初始状态”被“忘记”为止。这些被丢弃的样本称为预烧（burn-in）。其余的x可接受值集代表分布P（x）中的样本
Metropolis采样
一个简单的Metropolis-Hastings采样
让我们看看从 伽玛分布 模拟任意形状和比例参数，使用具有Metropolis-Hastings采样算法。
下面给出了Metropolis-Hastings采样器的函数。该链初始化为零，并在每个阶段都建议使用N（a / b，a /（b * b））个候选对象。
基于正态分布且均值和方差相同gamma的Metropolis-Hastings独立采样
从某种状态开始xt。代码中的x。在代码中提出一个新的状态x'候选计算“接受概率”
从[0,1] 得出一些均匀分布的随机数u；如果u <α接受该点，则设置xt + 1 = x'。否则，拒绝它并设置xt + 1 = xt。
MH可视化
set.seed(123)
for (i in 2:n) {
can <- rnorm(1, mu, sig)
aprob <- min(1, (dgamma(can, a, b)/dgamma(x,
a, b))/(dnorm(can, mu, sig)/dnorm(x,
mu, sig)))
u <- runif(1)
if (u < aprob)
x <- can
vec[i] <- x
画图
设置参数。
nrep<- 54000 burnin<- 4000 shape<- 2.5 rate<-2.6
修改图，仅包含预烧期后的链
vec=vec[-(1:burnin)] #vec=vec[burnin:length(vec)]
par(mfrow=c(2,1)) # 更改主框架，在一帧中有多少个图形 plot(ts(vec), xlab="Chain", ylab="Draws") abline(h = mean(vec), lwd="2", col="red" )
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. 0.007013 0.435600 0.724800 0.843300 1.133000 3.149000
var(vec[-(1:burnin)])
[1] 0.2976507
初始值
第一个样本 vec 是我们链的初始/起始值。我们可以更改它，以查看收敛是否发生了变化。
x <- 3*a/b
vec[1] <- x
选择方案
如果候选密度与目标分布P（x）的形状匹配，即q（x'| xt）≈P（x'）q（x'|），则该算法效果最佳。 xt）≈P（x'）。如果使用正态候选密度q，则在预烧期间必须调整方差参数σ2。
通常，这是通过计算接受率来完成的，接受率是在最后N个样本的窗口中接受的候选样本的比例。
如果σ2太大，则接受率将非常低，因为候选可能落在概率密度低得多的区域中，因此a1将非常小，且链将收敛得非常慢。
示例2：回归的贝叶斯估计
Metropolis-Hastings采样用于贝叶斯估计回归模型。
设定参数
DGP和图
# 创建独立的x值，大约为零 x <- (-(Size-1)/2):((Size-1)/2) # 根据ax + b + N（0，sd）创建相关值 y <- trueA * x + trueB + rnorm(n=Size,mean=0,sd=trueSd)
正态分布拟然
pred = a*x + b singlelikelihoods = dnorm(y, mean = pred, sd = sd, log = T) sumll = sum(singlelikelihoods)
为什么使用对数
似然函数中概率的对数，这也是我求和所有数据点的概率（乘积的对数等于对数之和）的原因。
我们为什么要做这个？强烈建议这样做，因为许多小概率相乘的概率会变得很小。在某个阶段，计算机程序会陷入数值四舍五入或下溢问题。
因此， 当您编写概率时，请始终使用对数
示例：绘制斜率a的似然曲线
# 示例：绘制斜率a的似然曲线 plot (seq(3, 7, by=.05), slopelikelihoods , type="l")
先验分布
这三个参数的均匀分布和正态分布。
# 先验分布 # 更改优先级，log为True，因此这些均为log density/likelihood aprior = dunif(a, min=0, max=10, log = T) bprior = dnorm(b, sd = 2, log = T) sdprior = dunif(sd, min=0, max=30, log = T)
后验
先验和概率的乘积是MCMC将要处理的实际量。此函数称为后验函数。同样，这里我们使用和，因为我们使用对数。
posterior <- function(param){
return (likelihood(param) + prior(param))
}
Metropolis算法
该算法是从 后验密度中采样最常见的贝叶斯统计应用之一 。
- 上面定义的后验。 从随机参数值开始 根据某个候选函数的概率密度，选择一个接近旧值的新参数值 以概率p（new）/ p（old）跳到这个新点，其中p是目标函数，并且p> 1也意味着跳跃 请注意，我们有一个 对称的跳跃/候选分布 q（x'| x）。
标准差σ是固定的。
所以接受概率等于
######## Metropolis 算法 ################
for (i in 1:iterations){
probab = exp(posterior(proposal) - posterior(chain[i,]))
if (runif(1) < probab){
chain[i+1,] = proposal
}else{
chain[i+1,] = chain[i,]
}
实施
（e）输出接受的值，并解释。
chain = metrMCMC(startvalue, 5500) burnIn = 5000 accep = 1-mean(duplicated(chain[-(1:burnIn),]))
算法的第一步可能会因初始值而有偏差，因此通常会被丢弃来进行进一步分析（预烧期）。令人感兴趣的输出是接受率：候选多久被算法接受拒绝一次？候选函数会影响接受率：通常，候选越接近，接受率就越大。但是，非常高的接受率通常是无益的：这意味着算法在同一点上“停留”，这导致对参数空间（混合）的处理不够理想。
我们还可以更改初始值，以查看其是否更改结果/是否收敛。
startvalue = c(4,0,10)
小结
V1 V2 V3 Min. :4.068 Min. :-6.7072 Min. : 6.787 1st Qu.:4.913 1st Qu.:-2.6973 1st Qu.: 9.323 Median :5.052 Median :-1.7551 Median :10.178 Mean :5.052 Mean :-1.7377 Mean :10.385 3rd Qu.:5.193 3rd Qu.:-0.8134 3rd Qu.:11.166 Max. :5.989 Max. : 4.8425 Max. :19.223
#比较: summary(lm(y~x))
Call:
lm(formula = y ~ x)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-22.259 -6.032 -1.718 6.955 19.892
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -3.1756 1.7566 -1.808 0.081 .
x 5.0469 0.1964 25.697 <2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 ?**?0.001 ?*?0.01 ??0.05 ??0.1 ??1
Residual standard error: 9.78 on 29 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.9579, Adjusted R-squared: 0.9565
F-statistic: 660.4 on 1 and 29 DF, p-value: < 2.2e-16
summary(lm(y~x))$sigma
[1] 9.780494
coefficients(lm(y~x))[1]
(Intercept) -3.175555
coefficients(lm(y~x))[2]
x 5.046873
总结：
### 总结: ####################### par(mfrow = c(2,3)) hist(chain[-(1:burnIn),1],prob=TRUE,nclass=30,col="109" abline(v = mean(chain[-(1:burnIn),1]), lwd="2")
