堆
堆(heap)是计算机科学中一类特殊的数据结构的统称，通常是一个可以被看做一棵树的数组对象。
堆{k1,k2,ki,…,kn} (ki <= k2i,ki <= k2i+1)|(ki >= k2i,ki >= k2i+1), (i = 1,2,3,4...n/2)
关于堆：
- 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
- 堆总是一棵完全二叉树（下面）。
- 将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。
完全二叉树
说到堆排序，就不能不提完全二叉树，这些基本概念在网上到处都是，我摘了个最简单的。。
完全二叉树：除最后一层外，每一层上的节点数均达到最大值；在最后一层上只缺少右边的若干结点。
我自己总结认为，正是因为有下面两个特点，
- 只允许最后一层有空缺结点且空缺在右边，即叶子结点只能在层次最大的两层上出现（存储方式的规则性）；
- 若i>1，tree的双亲为tree[i p 2]（其父子结点值的规律性）；
才使得其进行排序非常方便。
堆排序
堆排序求升序用大顶堆，求降序用小顶堆。
本例用求降序的小顶堆来解析。
堆排序步骤如下：
1、我们将数据（49、38、65、97、76、13、27、50）建立一个数组$arr；
2、用数组$arr建立一个小顶堆（主要步骤，会在代码注释里解释，下图是用一个数组建立小顶堆的过程）；
3、将堆的根（最小的元素）与最后一个叶子交换，并将堆长度减一，跳到第二步；
4、重复2-3步，直到堆中只有一个结点，排序完成。
堆排序的PHP实现
//因为是数组,下标从0开始,所以,下标为n根结点的左子结点为2n+1,右子结点为2n+2;
//初始化值,建立初始堆
$arr=array(49,38,65,97,76,13,27,50);
$arrSize=count($arr);
//将第一次排序抽出来，因为最后一次排序不需要再交换值了。
buildHeap($arr,$arrSize);
for($i=$arrSize-1;$i>0;$i--){
swap($arr,$i,0);
$arrSize--;
buildHeap($arr,$arrSize);
}
//用数组建立最小堆
function buildHeap(&$arr,$arrSize){
//计算出最开始的下标$index,如图,为数字"97"所在位置,比较每一个子树的父结点和子结点,将最小值存入父结点中
//从$index处对一个树进行循环比较,形成最小堆
for($index=intval($arrSize/2)-1; $index>=0; $index--){
//如果有左节点,将其下标存进最小值$min
if($index*2+1<$arrSize){
$min=$index*2+1;
//如果有右子结点,比较左右结点的大小,如果右子结点更小,将其结点的下标记录进最小值$min
if($index*2+2<$arrSize){
if($arr[$index*2+2]<$arr[$min]){
$min=$index*2+2;
}
}
//将子结点中较小的和父结点比较,若子结点较小,与父结点交换位置,同时更新较小
if($arr[$min]<$arr[$index]){
swap($arr,$min,$index);
}
}
}
}
//此函数用来交换下数组$arr中下标为$one和$another的数据
function swap(&$arr,$one,$another){
$tmp=$arr[$one];
$arr[$one]=$arr[$another];
$arr[$another]=$tmp;
}
下面是排序的最终结果：
堆用来进行全排序，时间复杂度是O(nlogn)
而快排用来全排序，平均时间复杂度也是O(nlogn)
但堆排序可以用来求 TopK 时，堆的时间复杂度为O(Klog2(n)，因为它只需要进行 K 轮排序即可。
