如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种。
1. 新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋
a/b/c分别是高度为h的AVL子树
上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层，即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：
1. 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在
2. 60可能是根节点，也可能是子树
如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点
如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树
代码
//右单旋
void RotateR(Node* parent)
{
Node* SubL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
parent->_left = subLR;
if (subLR)
{
subL->_right = parent;
}
subL->_right = parent;
Node* ppnode = parent->_parent;
parent->_parent = subL;
if (parent == _root)
{
_root = subL;
subL->_parent = nullptr;
}
else
{
if (ppnode->_left == parent)
{
ppnode->_left = subL;
}
else
{
ppnode->_right = subL;
}
subL->_parent = ppnode;
}
parent->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
}
2. 新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋
左单旋与右单旋的操作类似，只有左右节点的区别
代码
//左单旋
void RotateL(Node* parent)
{
Node* SubR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
parent->_right = subRL;
if (subRL)
{
subR->_left = parent;
}
subR->_left = parent;
Node* ppnode = parent->_parent;
parent->_parent = subR;
if (parent == _root)
{
_root = subR;
subR->_parent = nullptr;
}
else
{
if (ppnode->_left == parent)
{
ppnode->_left = subR;
}
else
{
ppnode->_right = subR;
}
subR->_parent = ppnode;
}
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
}
3. 新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋
参考30和60的相对位置，将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再考虑平衡因子的更新。
代码
//左右单旋
void RotateLR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;
RotateL(parent->_left);
RotateR(parent);
if (bf == 1)
{
parent->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 1;
}
else if (bf == -1)
{
parent->_bf = 0;
subL->_bf = -1;
subLR->_bf = 0;
}
else if(bf==0)
{
parent->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
4. 新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋
代码
//右左单旋
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
RotateR(parent->_right);
RotateL(parent);
if (bf == 1)
{
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 1;
}
else if (bf == -1)
{
parent->_bf = 0;
subR->_bf = -1;
subRL->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)
{
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
总结：
假如以pParent为根的子树不平衡，即pParent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑：
1. pParent的平衡因子为2，说明pParent的右子树高，设pParent的右子树的根为pSubR。
当pSubR的平衡因子为1时，执行左单旋。
当pSubR的平衡因子为-1时，执行右左双旋。
2. pParent的平衡因子为-2，说明pParent的左子树高，设pParent的左子树的根为pSubL。
当pSubL的平衡因子为-1是，执行右单旋。
当pSubL的平衡因子为1时，执行左右双旋。
旋转完成后，原pParent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。
