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1.引例
给定如图所示的某个函数，如何通过计算机算法编程求f(x)min？
2.数值解法
传统方法是数值解法，如图所示
按照以下步骤迭代循环直至最优：
① 任意给定一个初值x0；
② 随机生成增量方向，结合步长生成Δx；
③ 计算比较f(x0)与f(x0+Δx)的大小，若f(x0+Δx)<f(x0)则更新位置，否则重新生成Δx；
④ 重复②③直至收敛到最优f(x)min。
数值解法最大的优点是编程简明，但缺陷也很明显：
① 初值的设定对结果收敛快慢影响很大；
② 增量方向随机生成，效率较低；
③ 容易陷入局部最优解；
④ 无法处理“高原”类型函数。
所谓陷入局部最优解是指当迭代进入到某个极小值或其邻域时，由于步长选择不恰当，无论正方向还是负方向，学习效果都不如当前，导致无法向全局最优迭代。就本问题而言如图所示，当迭代陷入x=xj时，由于学习步长step的限制，无法使f(xj±Step)<f(xj)，因此迭代就被锁死在了图中的红色区段。可以看出x=xj并非期望的全局最优。
若出现下图所示的“高原”函数，也可能使迭代得不到更新。
3.梯度下降算法
梯度下降算法可视为数值解法的一种改进，阐述如下：
记第k轮迭代后，自变量更新为x=xk，令目标函数f(x)在x=xk泰勒展开：
f(x)=f(xk)+f′(xk)(x−xk)+o(x)
考察f(x)min ，则期望f(xk+1)<f(xk)，从而：
f(xk+1)−f(xk)=f′(xk)(xk+1−xk)<0
若f′(xk)>0则xk+1<xk ，即迭代方向为负；反之为正。不妨设xk+1−xk=−f′(xk)，从而保证f(xk+1)−f(xk)<0。必须指出，泰勒公式成立的条件是x→x0，故|f′(xk)|不能太大，否则xk+1与xk距离太远产生余项误差。因此引入学习率γ∈(0,1)来减小偏移度，即xk+1-xk=−γf′(xk)
在工程上，学习率γ \gammaγ要结合实际应用合理选择，γ \gammaγ过大会使迭代在极小值两侧振荡，算法无法收敛；γ \gammaγ过小会使学习效率下降，算法收敛慢。
对于向量 ，将上述迭代公式推广为
xk+1=xk−γ∇xk
其中
为多元函数的梯度，故此迭代算法也称为梯度下降算法
梯度下降算法通过函数梯度确定了每一次迭代的方向和步长，提高了算法效率。但从原理上可以知道，此算法并不能解决数值解法中初值设定、局部最优陷落和部分函数锁死的问题。
4.代码实战：Logistic回归
import pandas as pd
import numpy as np
import os
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib as mpl
from Logit import Logit
'''
* @breif: 从CSV中加载指定数据
* @param[in]: file -> 文件名
* @param[in]: colName -> 要加载的列名
* @param[in]: mode -> 加载模式, set: 列名与该列数据组成的字典, df: df类型
* @retval: mode模式下的返回值
'''
def loadCsvData(file, colName, mode='df'):
assert mode in ('set', 'df')
df = pd.read_csv(file, encoding='utf-8-sig', usecols=colName)
if mode == 'df':
return df
if mode == 'set':
res = {}
for col in colName:
res[col] = df[col].values
return res
if __name__ == '__main__':
# ============================
# 读取CSV数据
# ============================
csvPath = os.path.abspath(os.path.join(__file__, "../../data/dataset3.0alpha.csv"))
dataX = loadCsvData(csvPath, ["含糖率", "密度"], 'df')
dataY = loadCsvData(csvPath, ["好瓜"], 'df')
label = np.array([
1 if i == "是" else 0
for i in list(map(lambda s: s.strip(), list(dataY['好瓜'])))
])
# ============================
# 绘制样本点
# ============================
line_x = np.array([np.min(dataX['密度']), np.max(dataX['密度'])])
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = [u'SimHei']
plt.title('对数几率回归模拟\nLogistic Regression Simulation')
plt.xlabel('density')
plt.ylabel('sugarRate')
plt.scatter(dataX['密度'][label==0],
dataX['含糖率'][label==0],
marker='^',
color='k',
s=100,
label='坏瓜')
plt.scatter(dataX['密度'][label==1],
dataX['含糖率'][label==1],
marker='^',
color='r',
s=100,
label='好瓜')
# ============================
# 实例化对数几率回归模型
# ============================
logit = Logit(dataX, label)
# 采用梯度下降法
logit.logitRegression(logit.gradientDescent)
line_y = -logit.w[0, 0] / logit.w[1, 0] * line_x - logit.w[2, 0] / logit.w[1, 0]
plt.plot(line_x, line_y, 'b-', label="梯度下降法")
# 绘图
plt.legend(loc='upper left')
plt.show()
