图文详解梯度下降算法的原理及Python实现

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时间:2022-12-28
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1.引例

给定如图所示的某个函数,如何通过计算机算法编程求f(x)min?

图文详解梯度下降算法的原理及Python实现

2.数值解法

传统方法是数值解法,如图所示

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按照以下步骤迭代循环直至最优:

① 任意给定一个初值x0

② 随机生成增量方向,结合步长生成Δx;

③ 计算比较f(x0)与f(x0+Δx)的大小,若f(x0+Δx)<f(x0)则更新位置,否则重新生成Δx;

④ 重复②③直至收敛到最优f(x)min。

数值解法最大的优点是编程简明,但缺陷也很明显:

① 初值的设定对结果收敛快慢影响很大;

② 增量方向随机生成,效率较低;

③ 容易陷入局部最优解;

④ 无法处理“高原”类型函数。

所谓陷入局部最优解是指当迭代进入到某个极小值或其邻域时,由于步长选择不恰当,无论正方向还是负方向,学习效果都不如当前,导致无法向全局最优迭代。就本问题而言如图所示,当迭代陷入x=xj时,由于学习步长step的限制,无法使f(xj±Step)<f(xj),因此迭代就被锁死在了图中的红色区段。可以看出x=xj并非期望的全局最优。

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若出现下图所示的“高原”函数,也可能使迭代得不到更新。

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3.梯度下降算法

梯度下降算法可视为数值解法的一种改进,阐述如下:

记第k轮迭代后,自变量更新为x=xk,令目标函数f(x)在x=xk泰勒展开:

f(x)=f(xk​)+f′(xk​)(x−xk​)+o(x)

考察f(x)min ,则期望f(xk+1)<f(xk),从而:

f(xk+1​)−f(xk​)=f′(xk​)(xk+1​−xk​)<0

若f′(xk)>0则xk+1<xk ,即迭代方向为负;反之为正。不妨设xk+1−xk=−f′(xk),从而保证f(xk+1)−f(xk)<0。必须指出,泰勒公式成立的条件是x→x0,故|f′(xk)|不能太大,否则xk+1与xk距离太远产生余项误差。因此引入学习率γ∈(0,1)来减小偏移度,即xk+1-xk=−γf′(xk​)

在工程上,学习率γ \gammaγ要结合实际应用合理选择,γ \gammaγ过大会使迭代在极小值两侧振荡,算法无法收敛;γ \gammaγ过小会使学习效率下降,算法收敛慢。

对于向量 ,将上述迭代公式推广为

xk+1​=xk​−γ∇xk​​

其中

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为多元函数的梯度,故此迭代算法也称为梯度下降算法

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梯度下降算法通过函数梯度确定了每一次迭代的方向和步长,提高了算法效率。但从原理上可以知道,此算法并不能解决数值解法中初值设定、局部最优陷落和部分函数锁死的问题。

4.代码实战:Logistic回归

import pandas as pd
import numpy as np
import os
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib as mpl
from Logit import Logit

'''
* @breif: 从CSV中加载指定数据
* @param[in]: file -> 文件名
* @param[in]: colName -> 要加载的列名
* @param[in]: mode -> 加载模式, set: 列名与该列数据组成的字典, df: df类型
* @retval: mode模式下的返回值
'''
def loadCsvData(file, colName, mode='df'):
    assert mode in ('set', 'df')
    df = pd.read_csv(file, encoding='utf-8-sig', usecols=colName)
    if mode == 'df':
        return df
    if mode == 'set':
        res = {}
        for col in colName:
            res[col] = df[col].values
        return res

if __name__ == '__main__':
    # ============================
    # 读取CSV数据
    # ============================
    csvPath = os.path.abspath(os.path.join(__file__, "../../data/dataset3.0alpha.csv"))
    dataX = loadCsvData(csvPath, ["含糖率", "密度"], 'df')
    dataY = loadCsvData(csvPath, ["好瓜"], 'df')
    label = np.array([
        1 if i == "是" else 0
        for i in list(map(lambda s: s.strip(), list(dataY['好瓜'])))
    ])

    # ============================
    # 绘制样本点
    # ============================
    line_x = np.array([np.min(dataX['密度']), np.max(dataX['密度'])])
    mpl.rcParams['font.sans-serif'] = [u'SimHei']
    plt.title('对数几率回归模拟\nLogistic Regression Simulation')
    plt.xlabel('density')
    plt.ylabel('sugarRate')
    plt.scatter(dataX['密度'][label==0],
                dataX['含糖率'][label==0],
                marker='^',
                color='k',
                s=100,
                label='坏瓜')
    plt.scatter(dataX['密度'][label==1],
                dataX['含糖率'][label==1],
                marker='^',
                color='r',
                s=100,
                label='好瓜')

    # ============================
    # 实例化对数几率回归模型
    # ============================
    logit = Logit(dataX, label)

    # 采用梯度下降法
    logit.logitRegression(logit.gradientDescent)
    line_y = -logit.w[0, 0] / logit.w[1, 0] * line_x - logit.w[2, 0] / logit.w[1, 0]
    plt.plot(line_x, line_y, 'b-', label="梯度下降法")

    # 绘图
    plt.legend(loc='upper left')
    plt.show()

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